人教高中数学微专题12 导数解答题之证明不等式问题（解析版）.docx

微专题12 导数解答题之证明不等式问题
【秒杀总结】
利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
（4）对数单身狗，指数找基友
（5）凹凸反转，转化为最值问题
（6）同构变形
【典型例题】
例1．（河南省南阳市2022-2023学年高三上学期期中质量评估理科数学试题）已知函数，.
(1)若恒成立，求实数m的取值范围；
(2)求证：当时，.
【解析】
(1)令，
则
所以在上单调递减，在上单调递增，在处取得最大值，
若恒成立，则，即.
(2)证明：由（1）可知恒成立，即，
要证，只需证明成立即可.
设，则，
设，
则，易得在上单调递减，在上单调递增，
又，，因为，所以，所以存在，使得，
所以当时，；当时，.
故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
又，所以，
因此，当时，，
故当时，.
例2．（2023届高三数学一轮复****已知函数，且函数与有相同的极值点.
（1）求实数的值；
（2）若对，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）求证：.
【解析】（1）的定义域为，，由得，
易知函数在单调递增，在单调递减，故函数的极大值点为，
，依题意有，解得，经验证符合题意，故.
（2）由（1）知，函数在单调递增，在单调递减，
又，且，
当时，，.
① 当，即时，对，不等式恒成立，即为恒成立，
则，
，又，
此时的取值范围为；
② 当，即时，对，不等式恒成立，即为恒成立，
则，
所以，又，
此时的取值范围为.
综上，实数的取值范围为.
（3）证明：所证不等式即为，
下证：，即证，
设，则，
令，则，
易知函数在上单调递减，且，
故存在唯一的，使得，即，，
且当时，，即单调递增；
当时，，即单调递减，
，
在单调递减，
又时，，故，即；
再证：，即证在上恒成立，
设，，
在单调递增，则，即，
故，
综上，.
例3．（云南省昆明市2023届高三摸底考试数学试题）已知函数，．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：．
【解析】(1)，，，
故曲线在点处的切线方程为.
即．
(2)设，
则
．
由（1）知，又，
所以，所以在上单调递增，故，
所以，，．
例4．（2023·全国·高三专题练****已知函数.
(1)若，判断函数的单调性；
(2)证明：.
【解析】（1）因为，
所以,
因为，所以在上，
由，解得.
当时，，故在上为增函数；
当时，，在上为减函数.
（2）证明：由（1）知，当时，
在上为增函数，在上为减函数.
因为，
所以，
故，
所以，
所以.
设，
所以在上为减函数.
又，则，所以，
所以.
例5．（2023·全国·高三专题练****已知函数．
(1)若是的极值点，求a；
(2)当时，证明：．
【解析】（1）依题意，的定义域为，
由，得，
因为是的极值点，所以，即，即
当1时，，
当时，，所以在单调递增；
当时，，所以在单调递减；
所以f（x）在处取得极大值，符合题意
因此
（2）当时，要证，只需证，
即证，等价于证明
令，则
令，则，所以对恒成立，
故 在 单调递减，
又，所以，
所以在上恰有一个零点，且．
当时，，即，所以在单调递增；
当时，，即，所以在单调递减，
所以．
又因为，即，即，即，即，
所以
所以，
又因为，所以，即，
因此，即，圆
例6．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）设，，．
(1)求的单调区间；
(2)证明：当时，．
【解析】（1），
∵，
令，得；令，得；
所以的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）设，
若证成立，即证．
，
，
当时，，所以，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，所以恒成立．
当时，，令，
则对称轴为直线，
所以当时，函数单调递增，
当时，取最小值，
所以，所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，所以恒成立，
综上：当时，恒成立．
即．
例7．（2023·全国·高三专题练****已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，证明：．
【解析】(1)由题可知，，．
若，，所以在上单调递增，在上单调递减；
若，令，解得或（舍），
所以在上单调递增，在上单调递减；