微专题 利用基本不等式求最值 学案——2023届高考数学一轮人教版.docx

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微专题：利用基本不等式求最值
【考点梳理】
1. 基本不等式
如果a>0，b>0，那么≤，当且仅当a＝b时，等号成立. 该式叫基本不等式，其中，叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数. 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
2. 几个重要不等式
重要不等式
使用前提
等号成立条件
a2＋b2≥2ab
a，b∈R
a＝b
＋≥2
ab>0
a＝b
＋≤－2
ab<0
a＝－b
ab≤
a，b∈R
a＝b
≤
a，b∈R
a＝b
　　3. 基本不等式求最值
(1)设x，y为正数，若积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2(简记为：积定和最小).
(2)设x，y为正数，若和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2(简记为：和定积最大).
4. 常用推论
(1)(a＋b)2≤2(a2＋b2).
(2)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.
(3)|2ab|≤a2＋b2⇔－(a2＋b2)≤2ab≤a2＋b2.
(4)≤≤≤(a>0，b>0).
即有：正数a，b的调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数.
5. 三元均值不等式
(1)≥.
(2)≥abc.
以上两个不等式中a，b，c∈R，当且仅当a＝b＝c时等号成立.
6. 二维形式柯西不等式：若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立.
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【题型归纳】
题型一： 由基本不等式比较大小
1．已知m，n为正实数，且，则下列不等式一定成立的是（       ）
A． B． C． D．
2．若，，，则下列不等式恒成立的是（       ）
A． B．
C． D．
3．已知，，设，，，则a，b，c的大小关系正确的是（       ）．
A． B．
C． D．
题型二：直接求最值
4．若正实数满足，则（       ）
A．有最大值 B．有最大值4
C．有最小值 D．有最小值2
5．若，，函数的图象过点，则下列结论正确的是（       ）
A． B．
C． D．
6．已知，则的最大值为（       ）
A． B． C．0 D．2
题型三：配凑法求最值
7．函数的最小值是（       ）
A．2 B．4 C．5 D．6
8．已知，则函数的最小值是（       ）
A． B． C．2 D．
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9．函数有（       ）
A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2
题型四：常数代换求最值
10．已知，，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．
11．已知都是正数，且，则的最小值为（       ）
A． B．2 C． D．3
12．已知，，，则的最小值为（       ）
A．13 B．19 C．21 D．27
【双基达标】
13．设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（       ）
A．4 B．8 C．16 D．32
14．已知，且，不等式恒成立，则正实数的取值范围是（       ）．
A． B． C． D．
15．已知为正实数，且，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．
16．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门．出东门一十五里有木．问出南门几何步而见木?”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门里见到树，则．若一小城，如图所示，出东门1200步有树，出南门750步能见到此树，则该小城的周长的最小值为（注：1里=300步）（       ）
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A．里 B．里 C．里 D．里
17．已知，，若，则的最小值是（       ）
A．2 B． C． D．
18．已知，，直线：，：，且，则的最小值为（       ）
A．2 B．4 C． D．
19．已知函数（），则该函数