人教高中数学重难点05五种数列通项求法（核心考点讲与练）(解析版）.docx

重难点05五种数列通项求法（核心考点讲与练）
能力拓展
题型一：公式法求数列通项
一、单选题
1．（2022·北京·二模）已知为等差数列，首项，公差，若，则（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】首先求出通项公式，再代入得到方程，解得即可；
【详解】解：因为首项，公差，所以，
因为，所以，解得
故选：D
2．（2022·河南·方城第一高级中学模拟预测（文））已知为公差不为0的等差数列的前n项和.若，，，成等比数列，则（       ）
A．11 B．13 C．23 D．24
【答案】C
【分析】设出公差，利用，，成等比数列，列出方程，求出公差，求出答案.
【详解】设等差数列的公差为，
因为，，成等比数列，
所以，
化简得（舍去）或，
所以.
故选：C
3．（2022·陕西西安·三模（理））“中国剩余定理”又称“孙子定理”，可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下中的“物不知数”问题，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二问物几何？现有一个相关的问题：将1到2022这2022个自然数中被3除余2且被5除余4的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列14，29，44，…，则该数列的项数为（
       ）
A．132 B．133 C．134 D．135
【答案】C
【分析】先得到新数列14，29，44，…是首项为14，公差为15的等差数列，求出通项公式，解不等式求出数列的项数.
【详解】由题意得：新数列14，29，44，…是首项为14，公差为15的等差数列，
设新数列为，则通项公式为，
令，解得：，
因为，所以这个数列的项数为134.
故选：C
4．（2022·新疆·三模（文））已知数列是以1为首项，3为公差的等差数列，是以1为首项，3为公比的等比数列，设，，当时，n的最大值为（       ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】先求出，进而得到，由分组求和得，由判断出为递增数列，计算出即可求解.
【详解】由题意知：，，
，
又，
故为递增数列，又，
故当时，n的最大值为6.
故选：C.
5．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知数列的前项和满足．若存在，使得，则实数的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用求通项公式，判断出数列不单调，只需，即可求得.
【详解】因为数列的前项和满足，
所以当n=1时，有.不合题意；所以，解得：；
当时，.，解得：.
设，解得：，可得：，
所以是公比为，首项的等比数列，
所以，所以.
经检验，对n=1也成立.
若存在，使得，则数列不单调.
只需，则正负项交替出现，符合题意，此时.
当时，单调递增，不符合题意；
当时，单调递减，不符合题意；
而.
综上所述：.
故选：A
二、多选题
6．（2021·广东·高三阶段练****已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a3＋S5＝－18，a6＝－a3，则（       ）
A．an＝2n－9 B．an＝2n－7
C．Sn＝n2－8n D．Sn＝n2－6n
【答案】AC
【分析】利用等差数列的前n项和公式以及通项公式求出首项与公差进而可以求出结果.
【详解】因为，所以．又，所以，，则，．
故选：AC.
7．（2022·全国·高三专题练****我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：“今有良马和驽马发长安至齐，良马初日行一百九十三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里.良马先至齐，复还迎驽马，九日后二马相逢.”其大意为今有良马和驽马从长安出发到齐国，良马第一天走193里，以后每天比前一天多走13里；驽马第一天走97里，以后每天比前一天少走里.良马先到齐国，再返回迎接驽马，9天后两马相遇.下列结论正确的是（       ）
A．长安与齐国两地相距1530里
B．3天后，两马之间的距离为里
C．良马从第6天开始返回迎接驽马
D．8天后，两马之间的距离为里
【答案】AB
【分析】A, 设良马第天行走的路程里数为，驽马第天行走的路程里数为，求出良马和驽马各自走的路程即得A正确；
B，计算得到3天后，两马之间的距离为里，即可判断B正确；
C,计算得到良马前6天共行走了里里，故C不正确；
D，计算得到8天后，两马之间的距离为390里，故D不正确.
【详解】解：设良马第天行走的路程里数为，驽马第天行走的路程里数为，则.
良马这9天共行走了里路程，
驽马这9天共行走了里路程，
故长安与齐国两地相距里，A正确.
3天