人教第3章 导数及其应用 第1节　导数的概念及运算.doc

第1节　导数的概念及运算
考试要求　1.了解导数概念的实际背景；2.通过函数图象直观理解导数的几何意义；3.能根据导数的定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝，y＝x2，y＝x3，y＝的导数；4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.
1.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
(1)定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率
为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即
(2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0).
2.函数y＝f(x)的导函数
如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，称它为f(x)的导函数(简称导数)，y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝lim .
3.基本初等函数的导数公式
基本初等函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q*)
f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cos__x
f(x)＝cos x
f′(x)＝－sin__x
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝ax(a＞0，a≠1)
f′(x)＝axln__a
f(x)＝ln x
f′(x)＝
f(x)＝logax(a＞0，a≠1)
f′(x)＝
4.导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有：
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)′＝(g(x)≠0).
1.f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，且(f(x0))′＝0.
2.′＝－(f(x)≠0).
3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.
4.函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率.(　　)
(2)函数f(x)＝sin(－x)的导数f′(x)＝cos x.(　　)
(3)求f′(x0)时，可先求f(x0)，再求f′(x0).(　　)
(4)曲线y＝f(x)在某点处的切线与曲线y＝f(x)过某点的切线意义是相同的.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
解析　(1)f′(x0)表示y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，(1)错.
(2)f(x)＝sin(－x)＝－sin x，则f′(x)＝－cos x，(2)错.
(3)求f′(x0)时，应先求f′(x)，再代入求值，(3)错.
(4)“在某点”的切线是指以该点为切点的切线，因此此点横坐标处的导数值为切线的斜率；而对于“过某点”的切线，则该点不一定是切点，要利用解方程组的思想求切线的方程，在曲线上某点处的切线只有一条，但过某点的切线可以不止一条，(4)错.
2.某跳水运动员离开跳板后，他达到的高度与时间的函数关系式是h(t)＝10－4.9t2＋8t(距离单位：米，时间单位：秒)，则他在0.5秒时的瞬时速度为(　　)
A.9.1米/秒 B.6.75米/秒
C.3.1米/秒 D.2.75米/秒
答案　C
解析　h′(t)＝－9.8t＋8，
∴h′(0.5)＝－9.8×0.5＋8＝3.1.
3.(2022·银川质检)已知函数f(x)＝为奇函数，则曲线f(x)在x＝2处的切线斜率等于(　　)
A.6 B.－2 C.－6 D.－8
答案　B
解析　f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x).
取x>0，得x2－2x＝－(－x2＋ax)，则a＝2.
当x>0时，f′(x)＝－2x＋2.
∴f′(2)＝－2.
4.(2020·全国Ⅲ卷)设函数f(x)＝.若f′(1)＝，则a＝________.
答案　1
解析　由f′(x)＝，可得f′(1)＝＝，即＝，解得a＝1.
5.(2021·全国甲卷)曲线y＝在点(－1，－3)处的切线方程为________.
答案　5x－y＋2＝0
解析　y′＝′＝＝，
所以k＝y′|x＝－1＝＝