人教2023年高考数学二轮复习（全国版文） 第1部分 专题突破 专题1 第6讲 母题突破3　零点问题.docx

母题突破3　零点问题
母题　(2022·全国乙卷)已知函数f(x)＝ax－－(a＋1)ln x.
(1)当a＝0时，求f(x)的最大值；
(2)若f(x)恰有一个零点，求a的取值范围．
思路分析
❶f(x)的单调性
　　　 ↓
f(x)的最值
❷求f′(x)
　　　 ↓
　分类讨论f(x)的单调性
　　　 ↓
　利用单调性、零点存在定理判断零点个数
解　(1)当a＝0时，f(x)＝－－ln x(x＞0)，所以f′(x)＝－＝.
当x∈(0,1)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，
所以f(x)max＝f(1)＝－1.
(2)由f(x)＝ax－－(a＋1)ln x(x＞0)，得f′(x)＝a＋－＝(x＞0)．
①当a＝0时，由(1)可知，f(x)不存在零点；
②当a＜0时，f′(x)＝，
当x∈(0,1)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，
所以f(x)max＝f(1)＝a－1＜0，
所以f(x)不存在零点；
③当a＞0时，f′(x)＝，
当a＝1时，f′(x)≥0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，因为f(1)＝a－1＝0，
所以函数f(x)恰有一个零点；
当a＞1时，0＜＜1，故f(x)在，(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减．
因为f(1)＝a－1＞0，
所以f ＞f(1)＞0，
当x→0＋时，f(x)→－∞，由零点存在定理可知f(x)在上必有一个零点，所以a＞1满足条件；
当0＜a＜1时，＞1，故f(x)在(0,1)，上单调递增，在上单调递减．
因为f(1)＝a－1＜0，所以f ＜f(1)＜0，
当x→＋∞时，f(x)→＋∞，由零点存在定理可知f(x)在上必有一个零点，即0＜a＜1满足条件．
综上，a的取值范围为(0，＋∞)．
[子题1]　(2021·全国甲卷改编)已知a>0且a≠1，函数f(x)＝(x>0)，若曲线y＝f(x)与直线y＝1有且仅有两个交点，求a的取值范围．
解　f(x)＝＝1⇔ax＝xa⇔xln a＝aln x⇔＝，
设函数g(x)＝，
则g′(x)＝，
令g′(x)＝0，得x＝e，
在(0，e)上，g′(x)>0，g(x)单调递增；
在(e，＋∞)上，g′(x)<0，g(x)单调递减，
∴g(x)max＝g(e)＝，
又g(1)＝0，当x→＋∞时，g(x)→0，
∴曲线y＝f(x)与直线y＝1有且仅有两个交点，即曲线y＝g(x)与直线y＝有两个交点的充要条件是0<<，即0<g(a)<g(e)，
∴a的取值范围是(1，e)∪(e，＋∞)．
[子题2]　已知函数f(x)＝＋cos x，求证：当x∈(π，＋∞)时，f(x)有且仅有1个零点．
证明　由f(x)＝＋cos x知f′(x)＝－sin x，
记φ(x)＝－sin x(x>0)，则φ′(x)＝－－cos x，
当x∈(π，2π)时，f′(x)>0，f(x)在(π，2π)上单调递增，
f(π)＝－1＋<0，f(2π)＝1＋>0，则∃x0∈(π，2π)，使得f(x0)＝0；
当x∈时，φ′(x)<0，f′(x)在上单调递减，
f′(2π)＝>0