人教版高中数学1.3 复数（精讲）（提升版）（解析版）.docx

1.3 复数（精讲）（提升版）
思维导图
考点呈现
例题剖析
考点一 复数的基本知识
【例1】（2022·全国·高三专题练****已知复数，则下列说法正确的是（　　）
A．z的虚部为4i B．z的共轭复数为1﹣4i
C．|z|＝5 D．z在复平面内对应的点在第二象限
【答案】B
【解析】∵，
∴ z的虚部为4, z的共轭复数为1﹣4i，|z|，z在复平面内对应的点在第一象限.故选：B
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练****若复数，其共轭复数为，则（       ）
A．的虚部为 B．
C．在复平面上对应的点在第四象限 D．
【答案】D
【解析】因为复数，所以，
z的虚部为，，对应点在第一象限，，
故选：D
2．（2022·全国·高三专题练****多选））已知复数，则（       ）
A． B．
C．若，则， D．的虚部是
【答案】BC
【解析】，，故不能推出，A不正确；
由复数模的定义，故B正确；根据复数相等知，时，正确，故C正确；
由虚部的定义知，的虚部是y,故D不正确.故选：BC
3．（2022·浙江省义乌中学模拟预测）已知复数，其中是虚数单位，，下列选项中正确的是（       ）
A．若是纯虚数，则这个纯虚数为
B．若为实数，则
C．若在复平面内对应的点在第一象限，则
D．当时，
【答案】D
【解析】，
对于A：当是纯虚数时，则且，解得，此时这个纯虚数为，故A不正确；
对于B：当为实数时，则，解得，故B不正确；
对于C：当在复平面内对应的点在第一象限，则，解得，故C不正确；
对于D：当时，，所以，故D正确，故选：D.
考点二 复数的模长
【例2-1】（2022·湖南·高一期中）已知复数，则“”是“”的（       ）
A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由，得，解得或.故“”是“”的必要不充分条件.
故选：C
【例2-2】（2022·福建宁德·模拟预测）若，则的值为（       ）
A． B．2 C． D．3
【答案】D
【解析】因为，所以，故设，则，
所以.故选：D
【例2-3】（2022·全国·高三专题练****若复数z满足，则的最大值为（       ）
A．1 B．2 C．5 D．6
【答案】C
【解析】设.则表示复平面点到点的距离为3.
则的最大值为点到的距离加上3.即.故选：C.
【例2-4】（2022·全国·高三专题练****若复数满足，其中i为虚数单位，则对应的点(x，y)满足方程（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设，代入得：. 故选：B
【一隅三反】
1．（2022·河南·模拟预测（理））已知复数z满足，为z的共轭复数，则的最大值为（       ）
A．1 B．4 C．9 D．16
【答案】C
【解析】设，则，
由，得，即，
所以所对应的点的轨迹是以为圆心为半径的圆，
因为为z的共轭复数，所以即，
而可看作该圆上的点到原点的距离的平方，所以.故选：C.
2（2022·重庆·高三阶段练****已知复数z满足，复数z的共轭复数为，则的最大值为（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】令，，则表示与距离为1的点集，即，
此时，表示圆上点到原点距离，
所以的最大值，即为圆上点到原点的最大距离，而圆心到原点距离为1，且半径为1，
所以圆上点到原点的最大为2.故选：B.
3．（2022·全国·高三专题练****若z是复数，|z+2-2i|＝2，则|z+1-i|+|z|的最大值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设z＝x+yi(x，y∈R)，
由|z+2-2i|＝2知，动点的轨迹可看作以为圆心，2为半径的圆，
|z+1-i|+|z|可看作点P到和的距离之和，
而|CO|＝，|CA|＝，
易知当P，A，O三点共线时，|z+1-i|+|z|取得最大值时，
且最大值为|PA|+|PO|＝(|CA|+2)+(|CO|+2)＝，
故选：D．
考点三 复数的几何意义
【例3-1】（2022·全国·高三专题练****设复数z满足，且在复平面内z对应的点位于第一象限，则z=（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】把四个选项一一代入验证：
对于A：z=，则有，.故A错误；
对于B：