人教版第28讲 双曲线（解析）-2023年高考一轮复习精讲精练必备.docx

第28讲 双曲线
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知识梳理
1.双曲线的定义
一般地，如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个正常数，且2a＜|F1F2|，则平面上满足||PF1|－|PF2||＝2a的动点P的轨迹称为双曲线，其中，两个定点F1，F2称为双曲线的焦点，两个焦点的距离|F1F2|称为双曲线的焦距.
其数学表达式：集合M＝{P|||PF1|－|PF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
(1)若a<c，则点P的轨迹为双曲线；
(2)若a＝c，则点P的轨迹为两条射线；
(3)若a>c，则点P的轨迹不存在.
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
图　形
性　质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2
考点和典型例题
1、双曲线的定义和标准方程
【典例1-1】已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点与，的距离差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
由题意，，则，结合条件可知，双曲线的标准方程为.
故选：C.
【典例1-2】在平面直角坐标系中，已知的顶点，，其内切圆圆心在直线上，则顶点C的轨迹方程为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
解：如图设与圆的切点分别为、、，
则有，，，
所以．
根据双曲线定义，所求轨迹是以、为焦点，实轴长为4的双曲线的右支（右顶点除外），
即、，又，所以，
所以方程为．
故选：A．
【典例1-3】已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为（       ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】A
【详解】
由，得，则，
所以左焦点为，右焦点，
则由双曲线的定义得，
因为点在双曲线的两支之间，
所以，
所以，当且仅当三点共线时取等号，
所以的最小值为9，
故选：A
【典例1-4】已知，分别为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线的右支上，且，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
在双曲线中，，，,
∵，∴，
又，∴,
故选:A
【典例1-5】已知，分别是双曲线的左右焦点，点P在该双曲线上，若，则（       ）
A．4 B．4或6 C．3 D．3或7
【答案】D
【详解】
由双曲线定义知：，而，又且，
∴3或7，
故选：D.
2、双曲线的性质
【典例2-1】已知双曲线（a、b均为正数）的两条渐近线与直线围成的三角形的面积为，则双曲线的离心率为（       ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【详解】
解：双曲线的渐近线为，令，可得，
不妨令，，
所以，所以，，
即，所以，
所以；
故选：D
【典例2-2】椭圆：与双曲线：的离心率之积为1，则双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为（       ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【详解】
因为椭圆：与双曲线：的离心率之积为1，
所以有，
因此双曲线的两条渐近线方程为：，
所以双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为，，
故选：D
【典例2-3】若双曲线的一条渐近线与直线相互垂直，则双曲线的两个焦点与虚轴的一个端点构成的三角形的面积为                                          （       ）
A． B．6 C． D．8
【答案】C
【详解】
双曲线的一条渐近线方程为，
由两直线垂直得，，
，所以双曲线的焦点坐标为
，
虚轴一个顶点坐标为，
故选：C
【典例2-4】已知点是双曲线的右焦点，过F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为M，若△OMF（点O为坐标原点）的面积为8，则C的实轴长为（       ）
A．8 B． C．6 D．
【答案】A
【详解】
由题意可得．取渐近线，易知点到