人教考向40 椭圆-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题.doc

考向40 椭圆
1．（2021·湖南高考真题）已知椭圆经过点，且离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆相交于两点，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据题意得，，再结合即可求得答案；
（2）联立直线、椭圆方程可得两点坐标，由向量的数量积坐标运算公式可得答案.
【详解】
（1）椭圆经过点，所以，
因为离心率为，所以，所以，
所以椭圆的方程为.
（2）由得，解得，
所以，或，
可得，，或者，，
所以.
2．（2021·江苏高考真题）已知椭圆的离心率为.
（1）证明：；
（2）若点在椭圆的内部，过点的直线交椭圆于、两点，为线段的中点，且
.
①求直线的方程；
②求椭圆的标准方程.
【答案】（1）证明见解析；（2）①；②.
【分析】
（1）由可证得结论成立；
（2）①设点、，利用点差法可求得直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程；
②将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，由可得出，利用平面向量数量积的坐标运算可得出关于的等式，可求出的值，即可得出椭圆的方程.
【详解】
（1），，因此，；
（2）①由（1）知，椭圆的方程为，即，
当在椭圆的内部时，，可得.
设点、，则，所以，，
由已知可得，两式作差得，
所以，
所以，直线方程为，即.
所以，直线的方程为；
②联立，消去可得.
，由韦达定理可得，，
又，而，，
，
解得合乎题意，故，
因此，椭圆的方程为.
1：求椭圆的方程有两种方法:
（1）定义法.根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程.
（2）待定系数法.这种方法是求椭圆的方程的常用方法，其一般步骤是：
第一步，做判断.根据条件判断椭圆的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能（这时需要分类讨论）.
第二步，设方程.根据上述判断设方程为或.
第三步，找关系.根据已知条件，建立关于的方程组（注意椭圆中固有的等式关系）.
第四步，得椭圆方程.解方程组，将解代入所设方程，即为所求.
2、与几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形.理解顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量之间的关系，深挖出它们之间的联系，求解自然就不难了.
3、椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率（或离心率的取值范围）有两种方法：
（1）求出a，c，代入公式.
（2）只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为a，c的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a或a2转化为关于e或e2的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范围）.
4、直线与椭圆的位置关系的判断：设直线，椭圆，
把二者方程联立得到方程组，消去得到一个关于的方程.
方程有两个不同的实数解，即直线与圆锥曲线有两个交点；
方程有两个相同的实数解，即直线与圆锥曲线有一个交点；
方程无实数解，即直线与圆锥曲线无交点.
1、椭圆的定义：平面上到两定点的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）的点的轨迹是椭圆. 这两个定点叫做椭圆的焦点，两个定点之间的距离叫做椭圆的焦距，记作.
定义式：.要注意，该常数必须大于两定点之间的距离，才能构成椭圆.
2、椭圆的标准方程：焦点在轴上，；焦点在轴上，.
说明：要注意根据焦点的位置选择椭圆方程的标准形式，知道之间的大小关系和等量关系：.
3、椭圆的图形及其简单几何性质：
i)图形 焦点在轴上 焦点在轴上

ii)
标准方程
几何性质
范围
顶点
焦点
对称性
离心率
椭圆
，
对称轴：轴，轴，对称中心：
原点
，
，
【知识拓展】
以椭圆 上一点和焦点F1 (－c，0)，F2 (c，0)为顶点的中，若，注意以下公式的灵活运用：
（1）；
（2）；
（3）.
1．（2021·全国高三模拟预测）已知椭圆：（）的半截距为，是上异于短轴端点的一点，若
点的坐标为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·梅河口市第五中学高二月考）（多选题）已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，点在圆上，且圆上的所有点均在椭圆外，若的最小值为，且椭圆的长轴长恰与圆的直径长相等，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆的焦距为 B．椭圆的短轴长为
C．的最小值为 D．过点的圆的切线斜率为
3．