人教高中数学专题12 平面向量综合必刷100题(解析版).docx

专题12 平面向量综合必刷100题
任务一:善良模式(基础)1-30题
一、单选题
1．已知，向量，若，则实数（ ）
A． B． C．-2 D．2
【答案】D
【分析】
由，可得，用坐标表示数量积，即得解
【详解】
由
可得
，因为，所以.
故选：D
2．设中边上的中线为，点满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
由中线向量公式得到；由，利用线型运算得到，进而利用向量的减法运算得到结论.
【详解】
因为中边上的中线为，
所以，
因为，所以，
所以，
所以，
所以．
故选：.
3．若平面向量两两的夹角相等，且，则（ ）
A．2 B．5 C．2或5 D．或
【答案】C
【分析】
分类讨论，再由向量求模公式，即可求解.
【详解】
当两两的夹角均为0°时，显然；当两两的夹角均为120°时，，
故选：C.
4．在菱形中，、分别是、的中点，若，，则（ ）
A．0 B． C．4 D．
【答案】B
【分析】
以为基底表示有关向量，然后利用数量积的运算和定义求解.
【详解】
设,则.
，
故选：B.
5．如图，点在半径为的上运动，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
建立适当的坐标系，设，利用向量的坐标运算得到m,n与α的关系，进而得到m+n关于α的三角函数表达式，利用辅助角公式整理后，根据三角函数的性质求得其最大值.
【详解】
以为原点､的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系，
则有，.
设，则.
由题意可知
所以.
因为，所以，
故的最大值为.
6．已知向量满足，则与夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先求得，再利用向量夹角公式，结合向量数量积的运算计算即可得到答案.
【详解】
，
∴=1，
所以，
故向量与的夹角为.
故选：B.
7．已知，，，则在方向上的投影为（ ）
A．1 B．5 C． D．
【答案】A
【分析】
由的坐标求出和，进而利用投影的定义求解即可．
【详解】
∵，，
则，
∴，，
∴在方向上的投影为：.
故选：A.
8．在中，，且，则取最小值时的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
对平方，利用平面向量的数量积公式和已知条件，可知，根据二次函数的性质，即可求出结果.
【详解】
因为
所以当时，取最小值.
故选：B.
9．在中，点是线段上靠近点的三等分点，点在线段上，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据平面向量的三角形法则可得，进而，再根据和点是线段上靠近点的三等分点，利共线定理可得，，再结合平面向量的三角形法则，即可求出结果.
【详解】
根据题意，作出图形，如图所示．
因为
所以
又，所以
所以
又点是线段上靠近点的三等分点，所以，
所以．
故选:B.
10．已知点，若过点的直线l交圆于C：于A，B两点，则的最大值为（ ）
A．12 B． C．10 D．
【答案】A
【分析】
设出的中点，根据垂径定理即可求出点的轨迹方程是以为圆心，1为半径的圆，再利用圆的性质求出的最大值，再由向量的运算性质即可求解．
【详解】
由已知圆的方程可得：圆心，半径为，
设的中点为，则由圆的性质可得：，
即，而，，
所以，
即点的轨迹方程为，
设为的中点，则，半径为1，
所以的最大值为，
又，
所以的最大值为12，
故选：A
11．以下四个命题中正确的是（ ）
A．若，则三点共线
B．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底
C．
D．为直角三角形的充要条件是
【答案】B
【分析】
对于,，， 三点共线时，，故不正确；
对于， 不共线，所以构成空间的另一个基底，故正确；
对于，表示与共线的向量，表示与共线的向量，故不正确；
对于，时，为直角，反之也可以是，为直角，故不正确.
【详解】
对于A：，，三点共线时，，
，
，，三点共线不成立，故A不正确；
对于B：若为空间的一个基底，
则不共线，
不共线，
构成空间的另一个基底，故B正确；
对于C：假设，
不妨设，
则，
因为向量不一定共线，故C不正确；
对于D，时，为直角，
故为直角三角形，反之也可以是，为直角，
故D不正确.
故选：B.
12．已知向量、满足，且，则在方向上的投影是（ ）
A． B． C． D．