人教高中数学专题14 分类讨论证明或求函数的单调区间（含参）(解析版).docx

专题14 分类讨论证明或求函数的单调区间（含参）
1．设函数．
（1）当时，讨论在内的单调性；
（2）当时，证明：有且仅有两个零点．
【答案】（1）在或上单调递减，在或上单调递增；（2）证明见解析.
【分析】
（1）先求导，根据导数和函数的单调性，结合三角函数的性质即可求出单调区间；
（2）先判断出函数为偶函数，则问题转化为在有且只有一个零点，再利用导数和函数单调性的关系，以及函数零点存在定理即可求出．
【详解】
（1）当时，，
，
令，解得或，，
当时，解得或，当时，解得或，
在，或，上单调递减，在或上单调递增；
（2）的定义域为，
，
为偶函数，
，
有且仅有两个零点等价于在有且只有一个零点，
，
当时，，恒成立，
在上单调递减，
，
，
在上有且只有一个零点，
当时，令，即，
可知存在唯一，使得，
当或时，，，函数单调递增，
当时，，，函数单调递减，
由，，可得，
当，，
，
在上有且只有一个零点，
综上所述，当时，有且仅有两个零点．
【点睛】
方法点睛：1、利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，当f(x)含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论；若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．
2、用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决.
2．已知函数．
（1）讨论函数的单调区间；
（2）当时，求证：．
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析．
【分析】
（1）先求导，分为，，和四种情形进行分类讨论，根据导数和函数单调性的关系即可求出；
（2）等价于，令，利用当时的结论，根据导数判断
与0的关系，即可证明.
【详解】
解：的定义域为，
则，
当时，，当时，，当时，，
函数的单调递减区间为，单调递增区间为，
当时，令，解得或，
当时，恒成立，
函数的单调递减区间为，无单调递增区间，
当时，，
当或时，，当，时，，
函数的单调递减区间为或，单调递增区间为，，
当，，
当或，时，，当时，，
函数的单调递减区间为或，，单调递增区间为．
综上所述：当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，
当时，函数的单调递减区间为，无单调递增区间，
当时，函数的单调递减区间为，，单调递增区间为，，
当时，函数的单调递减区间为或，，单调递增区间为．
（2） 证明：要证，即证，
令，
则，
由（1），当时，，
可得的单调递减区间为，单调递增区间为，
即的单调递减区间为，单调递增区间为，
（1），
在上单调递增，
（1），
当时，，，
当时，，，
，
即．
【点睛】
含有参数的函数单调性讨论常见的形式：
（1）对二次项系数的符号进行讨论；
（2）导函数是否有零点进行讨论；
（3）导函数中零点的大小进行讨论；
（4）导函数的零点与定义域端点值的关系进行讨论等.
3．已知函数.
（1）若，求在区间上的极值；
（2）讨论函数的单调性.
【答案】（1）极小值为，无极大值；（2）答案见解析.
【分析】
（1）当时，求得，利用导数分析函数的单调性，由此可求得函数在区间上的极值；
（2）求得，分和两种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的单调递增区间和递减区间.
【详解】
（1）当时，，所以，，列表；
单调递减
极小
单调递增
所以，在区间上的有极小值，无极大值；
（2）函数的定义域为，.
当时，，从而，故函数在上单调递减；
当时，若，则，从而；
若，则，从而.
故函数在上单调递减，在上单调递增.
综上所述，当时，函数的单调递减区间为，无单调递增区间；
当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
【点睛】
方法点睛：讨论含参数函数的单调性，通常以下几个方面：
（1）求导后看函数的最高次项系数是否为，需分类讨论；
（2）若最高次项系数不为，且最高次项为一次，一般为一次函数，求出导数方程的根；
（3）对导数方程的根是否在定义域内进行分类讨论，结合导数的符号变化可得出函数的单调性.
4．已知函数．
（1）试讨论的单调性；
（2）若，证明：．
【答案】（1）答案不唯一见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）对函